Prima di procedere con la dimostrazione del teorema sotto citato, mi sembra utile fare alcune precisazioni sui sottoinsiemi D(dispari) e P (pari) di N.

Prima di tutto voglio premettere che nell’insieme dei naturali includerò lo 0, convenzione adottata da molti matematici contemporanei, anche se presenta i suoi pro e i suoi contro (per ulteriori informazioni vedi http://www.scuolaitalia.com/eureka/esperti/mat/zero.htm); questa scelta è dettata dal fatto che possiamo considerare lo 0 come un pari, cosa che amplia il campo di applicazione del teorema.

detto questo possiamo procedere con la dimostrazione

Lemma Se un numero naturale k > 1 è divisore di due naturali a e b, con a > b, allora esso è divisore anche della loro differenza.

In simboli:

Dimostrazione

Dall’ipotesi si ha che a/k=c e b/k=d; sottraendo membro a membro si ha:

(a-b) /k=c-d

Per dimostrare la tesi basta osservare che

essendo k > 1 (nota proprietà delle disequazioni). Dunque c > d e quindi c-d è un numero naturale.

Corollario Il lemma precedente si può estendere da N a Z (ma non ci soffermiamo su quest’aspetto perché tale lemma ci serve solo in N).

Teorema Numeri naturali consecutivi sono sempre coprimi (o anche relativamente primi o primi tra loro).

In simboli:

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che due naturali consecutivi n e n+1 non siano primi tra loro; allora esisterà un loro divisore comune k > 1.

In sinboli:

Ma esso in base al lemma dovrà essere divisore della loro differenza, in altre parole di:

n+1-n=1

ma questo è un assurdo perché:

c.v.d.d.