STAI PENSANDO AI
CONIGLI?????????? di Emanuel Guariglia
Leonardo Pisano (ca.1200, detto Leonardo Fibonacci = Filius Bonacci =
figlio del bonaccione, così era soprannominato suo padre) si chiese
quante coppie di conigli nascono all'n-esima generazione, partendo da una
singola coppia e supponendo che ogni coppia di conigli di una generazione
produca una coppia di conigli per la generazione successiva e una per quella
dopo di questa, e poi muoia.
Se nascono fn coppie di conigli all'n-esima
generazione, allora
f1 = 1 (la coppia
originaria)
f2 = 1 (la loro
progenie immediata)
fn+2 = fn + fn+1
I numeri così ottenuti si chiamano, appunto, numeri di
Fibonacci e sono
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
233 377 610…….
Il problema dei conigli di Leonardo, non era naturalmente
troppo verosimile. Tuttavia i numeri di Fibonacci hanno così tante applicazione
che c'è perfino un periodico matematico, il Fibonacci Quarterly, interamente dedicato
a questo argomento. Menzioniamo solo alcune delle proprietà più sorprendenti.
§
APPLICAZIONI
ALLA TEORIA DEI NUMERI: essi sono legati da innumerevoli proprietà con i numeri di
Lucas, che sono importantissimi per lo studio dei numeri primi.
§
IL
TRIANGOLO DI PASCAL: provate a vedere che numeri escono fuori sommando le
diagonali del triangolo di Tartaglia-Pascal: proprio i numeri di Fibonacci.
§
LA SEZIONE
AUREA: Keplero osservò che il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi
si avvicini a 1,618….Il limite esatto è la sezione aurea, cioè
Un numero
noto già ai Greci, che avendo una moltitudine di applicazione nella natura,
rappresentava per loro l'armonia.
La sezione
aurea e' un numero del tipo x^2 = 1-x, cioè uno dei due numeri:
Combinando le varie potenze di t e s, si può ottenere una formula che
genera i numeri di Fibonacci a partire dalla sezione aurea, e
cioè:
che non ha
proprio l'aspetto di numeri interi!!!!!!!!!!!
§
FILOTASSI
(il
nome botanico della disposizione delle foglie): le infiorescenze sul capo
del girasole sono composte da 55 spirali orarie e 34 antiorarie(cioè f10 e f9).
Gli ananas da 21 spirali che
vanno in un verso e 34 che vanno nel verso opposto , numerando i petali;
lo stesso vale per i cavolfiori,
le pigne e certi tipi di cactus. Ci sono di solito due tipi di infiorescenze
che vanno in direzioni opposte e i numeri delle spirali in questi sistemi sono numeri di
Fibonacci (Gothe disse
"tutto è una foglia"). Potremmo addirittura congetturare che il
numero esatto dei petali di un fiore(quando è piccolo) sia determinato con
questo meccanismo; infatti gli angoli della posizione del petalo numero N non
sono altro che le parti frazionarie dei multipli successivi
0
1,618…
3,236… 4,854…
della sezione aurea
Così, senza saper
contare, un fiore può fare in modo che il numero totale dei suoi petali sia un numero di
Fibonacci piccolo, e nessun altro numero; è più difficile ottenere
esattamente numeri
di Fibonacci grandi a piacere. Questa teoria cade in difetto,
però, perché le piante usano molti
altri meccanismi nel loro sviluppo: alcune emettono coppie di foglie
simultaneamente da parti opposte dello stelo(es. le pigne in cui il numero
delle spirali è il doppio dei numeri di Fibonacci).
La prossima volta che mangiate un cavolfiore, osservate che non solo le
sue spirali hanno un numero di Fibonacci di infiorescenze, ma
che queste, a loro volta, hanno spesso spirali si sotto - infiorescenze.
Passeggiando nei boschi, mentre guardate due foglie che sembrano essere
l'una sopra all'altra, probabilmente la loro distanza è pari a un numero di
Fibonacci.
Ci sono, addirittura,
specie di alberi montani nei quali l'organizzazione di tipo Fibonacci è
visibile sull'intera struttura, perfino nelle radici, se vi mettete a scavare.
In
conclusione,, chi pensa ai conigli, non pensava poi ad una cosa così stupida!