N,Z,Q,R,C: ma la storia come
continua???????
Molti, una volta finito il Liceo Scientifico, pensano che
oltre C vi sia "il nulla eterno".
Per " i molti", che hanno visto costruire nuovi
insiemi numerici partendo da N (l'insieme numerico più semplice possibile e
quello che rappresenta la realtà a noi più vicina) per arrivare a C
(l'insieme dei numeri complessi, ossia
quello più difficile da capire e più lontano a noi), passando per Z,Q,R, tutto
finirà qui.
Tutti sappiamo che i numeri complessi non sono nient'altro
che coppie di numeri reali, rappresentabili quindi come vettori su un piano,
detto piano complesso o di Argand -
Gauss: perciò si comportano con le stesse leggi della geometria piana.
Questa proprietà fa capire "ai più" che tale
insieme ha di "complesso" solo il nome.
Poi, essendo C la chiusura algebrica di R, abbiamo in
questo insieme risolto il problema, per il quale generalmente si introduce C,
ossia quello delle radici di un’equazione algebrica di qualunque grado.
Sembra che tutto finisca qui, ossia che con C, che
sembrerebbe essere il miglior insieme possibile e quello che risponda a tutti i
problemi esistenti, tutto sia finito; ma forse "i più" non
considerano che "la matematica è, tra
le scienze, la più sorprendente" [2] : sarà quindi facile
aspettarsi che dopo C, che per noi sembra "il miglior e più ampio insieme
possibile”, vi sia qualcos’altro: infatti è così.
I QUATERNIONI DI HAMILTON [1]
Tutto si deve al famoso matematico
irlandese William Rowan Hamilton (1805-1985) che passò un tempo considerevole
nel tentativo di trovare un nuovo insieme i cui elementi fossero definibili
come terne di numeri reali, che sperava potessero rendere un servizio alla
geometria solida simile a quello reso da C a quella piana.
Ogni mattina, scendendo per la
colazione su figli gli chiedeva: “Bè, papà, sai moltiplicare le terne?” ma per
molto tempo fu costretto a rispondere scuotendo tristemente la testa: “No, le
solo sommare e sottrarre”.
Hamilton scoprì infine che la cosa corretta non era quella di usare
tre coordinate, ma quattro, e inventò un nuovo sistema numero che chiamò
quaternioni. E’ famosa la sua frase: “Né
potei resistere all’impulso, per quanto fosse poco filosofico, di intagliare
con un coltello su una pietra del ponte di Brougham la formula fondamentale con
simboli i , j, k: i2 = j2 = k2 = i j k = -1”.
Il tipico quaternione,
a+bi+cj+dk
ha una parte scalare “unidimensionale e
reale” a, ma la sua parte “immaginaria” è il vettore tridimensionale
v= bi +cj +dk
Si sommano nel modo ovvio, ma si
moltiplicano usando
Regole
di Hamilton
i2=j2=k2=-1
i j =k j k =i
k i =j
j i= -k k j=-i
i k=-j
per esempio,
(2+i)(3+j)=6+3i+2j+k
(3+j)(2+i)=6+3i+2j-k
ma
I quaternioni di
Hamilton non sono commutativi!
Tuttavia i quaternioni soddisfano le
proprietà associative e distributiva. I quaternioni di Hamilton sono davvero
utili in geometria!
La rotazione di un
angolo 2q attorno a un qualunque vettore unitario
(ossia di lunghezza 1), bi + cj + dk, porta un qualsiasi altro vettore xi + yj + zk in
q
-1(xi+yj+zk)q
dove q = cosq + (bi
+ ci + dk) sinq..
La misura
appropriata della "grandezza" di un tipico quaternione a + bi + cj + dk è la sua norma a2 + b2 + c2 +
d2, e una delle prime cose che Hamilton fece dopo la
scoperta delle sue regole fu la verifica che la norma del prodotto di due
quaternioni è precisamente il prodotto delle loro norme. Questo ci dà la famosa
formula dei quattro quadrati
(a2+b2+c2+d2)(a 2+b2+g2+d2) =(aa- bb-- cg- dd)2 + (ab+ ba~+ cd dg)2+(ag- bd+ ca+ db)2 + (ad+ +bg- cb+ da)2
già inviata da
Eulero a Goldbach in una lettera del 15 aprile 1705, e usata da Lagrange nella
sua dimostrazione dell'affermazione di Fermat che ogni intero è somma di
quattro quadrati perfetti.
I quaternioni sono
anche utili per rappresentare gruppi nella matematica pura e non solo: infatti
con essi si può rappresentare lo spin nella
fisica delle particelle (ossia il momento angolare intrinseco di una
particella o di un nucleo, che esiste anche quando la particella è in quiete, a
differenza del momento angolare orbitale).
LA MACCHINA DEI QUATERNIONI [1]
La moltiplicazione
dei quaternioni è rappresentabile molto bene graficamente.
Essa consiste in
un rettangolo di carta con 1, i, I, k scritti in varie orientazioni e appeso a
un'asta per mezzo di un robusto nastro da tappezzeria. L'asta è perpendicolare
alla carta, e quindi il nastro è ruotato di almeno 90° in tutte le nostre
figure. Due piccoli indicatori sono collocati a metà lungo i lati del nastro.
i -1xi j--1x k--1xk
sono delle semi -
rotazioni.
Facendo
una successione di queste, naturalmente la rotazione composta risultante è
rivelata
dall’orientazione finale della carta.
Ma il nostro indicatore di segno mostrerà anche il segno del
nostro prodotto di quaternione.
Dopo aver
effettuato un qualsiasi numero di moltiplicazioni per i, j, k in questo modo,
siete autorizzati a muovere la carta per semplificare il risultato, purché
preserviate attentamente la sua orientazione per tutto il movimento.
Hamilton
fu preceduto, per alcuni aspetti di questa sorprendente applicazione dei
quaternioni, dal ricchissimo banchiere e matematico spagnolo Rodrigues.
GLI OTTETTI DI CAYLEY [1]
Ma, come è d'aspettarsi, non finisce qui: infatti Arthur
Cayley (1821-1895), uno dei maggiori algebristi del XIX secolo, a margine di
una pagina di una delle sue innumerevoli pubblicazioni, con riferimento ai
quaternioni che il suo amico Hamilton aveva da poco tempo scoperto, nel 1845
scrisse : “E’ possibile costruire
una teoria analoga con 7 radici immaginarie di -1"
Egli scopri un'algebra di "numeri" a otto dimensioni,
detti ottetti o numeri di
Cayley, che sono stati usati per spiegare certe proprietà speciali degli
spazi con sette e otto dimensioni.
Il tipico numero di Cayley è
a+ bio+ci1
+ di2 + ei3 +fi4 +gi5 + hi6
dove
ciascuna delle sette terne
(i0,i1,i3)
(i1,i2,i4) (i2,i3,i5)
(i3,i4,i6) (i4,i5,i0)
(i5,i6,i0) (i6,i0,i2)
si
comporta come la terna di Hamilton (i, j,
k).
Qualunque rotazione dello spazio otto - dimensionale
può essere scritta nella forma
x
va in ((((((xc1)c2)c3)c4)c5)c6)c7
per
opportuni numeri di Cayley c1, c2,
c3, c4, c5, c6, c7
Ma
attenzione: I numeri di Cayley non sono associativi, e quindi non si può scrivere questa formula nella
forma
x c1 c2 c3 c4 c5
c6 c7
Due
risultati importanti, infine, sono quelli di :
§ Hurwitz,
che nel 1898 dimostrò che le algebre dei numeri reali, dei numeri complessi,
dei quaternioni e degli ottetti sono le uniche
in cui tutti gli operatori di moltiplicazione per vettori unitari
conservano le distanze.
§
J.F. Adams dimostrò nel 1956 che solo per n=1,2,4, e 8 è possibile
trasformare l’insieme dei vettori n - dimensionali in un’algebra in cui la
divisione (tranne quella per 0) sia sempre possibile.
Bibliografia
[1] John H. Conway e Richard K. Guy, Il Libro dei numeri, Hoepli, Milano,1999, traduzione italiana di Alessandro Zaccagnini, pag.199 - 203
[2] G.H. Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, 1989