INTRODUZIONE AI SISTEMI DI SERVIZIO

Spesso nella vita reale , abbiamo a che fare con delle situazioni in cui viene richiesto un servizio e dove vi sono delle unità adibite a rendere il servizio , ciascuna di queste unità può rendere un servizio alla volta. Quando l'unità adibita è occupata , si formano delle code cioè vi sono richieste che non possono essere esaudite immediatamente. Ad esempio supponiamo che ad una centrale telefonica arrivino delle chiamate , se quando arriva una chiamata una delle linee è libera allora l'utente può iniziare subito la conversazione , altrimenti deve aspettare che una delle linee si liberi. Siamo interessati a studiare la lunghezza delle code e a cercare il numero ottimale di unità adibite a rendere il servizio. A tale scopo costruiremo un modello matematico in cui l'istante in cui arriva la richiesta e la durata del servizio sono variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. La teoria è essenzialmente stocastica. Parleremo di "CLIENTI" cioè quelle unità animate o inanimate che chiedono un servizio ; di "SERVITORI" cioè quelle unità adibite a rendere il servizio , e di "CODE" cioè dei dispositivi atti a contenere quei clienti che non possono essere serviti immediatamente e che quindi attendono il proprio turno di servizio. Chiameremo disciplina di coda il modo con cui , dopo una partenza , viene scelto il successivo cliente da servire. Considereremo in particolare tre discipline che indicheremo con F.I.F.O. , L.I.F.O. e RANDOM. La disciplina F.I.F.O. è quella in cui i clienti vengono serviti in ordine di arrivo; la L.I.F.O. è quella in cui il successivo cliente da servire dopo una partenza è l'ultimo arrivato. La disciplina RANDOM è quella in cui il successivo cliente da servire viene scelto in modo casuale. La coda d'attesa è caratterizzata da una certa capacità , ovvero il limite massimo di clienti che può contenere. Tale limite può essere nullo , quando a nessun cliente è permesso aspettare e il cliente che trova il servizio occupato perde la possibilità di usufruire del servizio. In generale però la capacità della coda è un intero positivo qualsiasi oppure si può supporre che sia infinito quando cioè non vi è alcuna limitazione sulla lunghezza della coda. Chiameremo "ARRIVI" gli istanti in cui i clienti chiedono il servizio e "PARTENZE" gli istanti in cui i clienti terminano il servizio; gli intervalli di tempo tra gli arrivi saranno trattati come variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite , caratterizzate da una certa funzione di distribuzione. Anche la durata del servizio è una variabile casuale. Inoltre considereremo il servizio indipendente dalla domanda. Il rapporto tra il tempo medio di durata del servizio e l'intervallo medio tra gli arrivi viene detto "INTENSITÀ DI TRAFFICO" , e sarà denotato con r . Questo parametro ha una importanza fondamentale nella teoria delle code. Nel seguito vedremo che se r < 1 il servizio può contenere la domanda senza congestione , mentre si verifica il contrario quando r > 1. Sebbene r sia adimensionale , tale quantità è misurata in "erlang" in onore di A.K.ERLANG , uno scienziato danese considerato il padre della teoria delle code. Una notazione molto utile è stata introdotta da KENDALL ed è la seguente: GI¤ G¤ N. La prima lettera si riferisce alla funzione di distribuzione degli intervalli tra gli arrivi; la I che spesso è omessa , sta ad indicare che ciascun arrivo è indipendente da gli altri. La terza lettera si riferisce alla funzione di distribuzione della durata del servizio. N è il numero di servitori. La notazione G¤ G¤ ¥ sta ad indicare un sistema in cui il numero di servitori è talmente elevato che nessun cliente è costretto ad aspettare per il servizio. Con la lettera G si indica che la distribuzione è di tipo generale , ovvero non è meglio specificata. Altrimenti se la distribuzione è specificata, si può usare M se la distribuzione è esponenziale negativa; D se è deterministica; se è la distribuzione di Erlang , la cui densità di probabilità è:

La distribuzione di Erlang si riduce a quella esponenziale quando k=1. Inoltre essa si riduce alla distribuzione deterministica quando si fa tendere k all'infinito mantenendo costante il rapporto l ¤ k. Chiameremo "STATO DEL SISTEMA" il numero totale di clienti presenti nel sistema , includendo i clienti in attesa di ricevere il servizio e quelli in servizio. Indicheremo con x (t) lo stato del sistema al tempo t ; è chiaro che fissato t , x (t) è una variabile casuale. Siamo interessati a calcolare la probabilità che x (t) sia uguale ad un certo valore n ( intero non negativo ) condizionata dal fatto che al tempo zero vi siano N clienti nel sistema. Denotiamo tale probabilità con

.

Introduciamo la variabile casuale tempo di attesa di un cliente. Essa è data dal tempo trascorso in attesa di un servizio più la durata del servizio. L'intervallo di tempo che intercorre dal momento in cui un cliente trova il servitore inattivo al momento in cui il servitore è di nuovo inattivo sarà chiamato "BUSY PERIOD" o "PERIODO DI OCCUPAZIONE". Il tempo che intercorre dall'inizio di un busy period all'inizio del successivo sarà chiamato "BUSY CYCLE". L'intervallo di tempo che va dal momento in cui il servitore diventa inattivo all'istante in cui il servitore riceve la successiva richiesta sarà chiamato "IDLE PERIOD" o "PERIODO DI INATTIVITÀ" ; quindi un busy cycle è la somma di un busy period e di un idle period. L'intervallo tra successive partenze di clienti serviti sarà chiamato "INTERVALLO DI OUTPUT".